Giải tích 12
Chương II : Bài 1
Lũy thừa
Biên soạn :
Phạm Quốc Khánh
Chương trình sách giáo khoa mới của bộ GD – ĐT 2008
click
I - KHÁI NiỆM LŨY THỪA
1. Lũy thừa với số mũ nguyên .
Hãy tính :
Có :
Cho n là số nguyên dương .
Với a là số thực tùy ý , lũy thừa bậc n của a là tích của n số a
Với a ≠ 0
Trong biểu thức am , ta gọi a là cơ số , số nguyên m là số mũ
Chú ý :
00 và 0- n
không có nghĩa
click
Ví dụ 1 :
Tính giá trị của biều thức :
Giải :
Ví dụ 2 :
Rút gọn biều thức :
Giải :
Với a ≠ 0 , a ≠  1 ta có :
click
2. Phương trình xn = b .
Dựa vào đồ thị hàm số y = x3 và y = x4 hãy biện luận theo số nghiệm của các phương trình x3 = b và x4 = b
O
x
y
y = x3
y = b
O
y
y = x4
y = b
Đồ thị y = x 2k + 1 có dạng như đồ thị hàm số y = x3
Đồ thị y = x 2k có dạng như đồ thị hàm số y = x4
Nên biện luận được số nghiệm của phương trình xn = b như sau :
a) Trường hợp n lẻ :
Với mọi số thực b phương trình có nghiệm duy nhất
b) Trường hợp n chẵn :
b < 0 phương trình vô nghiệm
b = 0 phương trình có 1 nghiệm x = 0
b > 0 phương trình có 2 nghiệm đối nhau .
click
3. Căn bậc n .
Cho số nguyên dương n , phương trình an = b đưa đến 2 bài toán ngược nhau :
Biết a tìm b ( là tính lũy thừa của 1 số )
Biết b tính a ( dẫn đến khái niệm lấy căn của 1 số )
Cho số thực b và số nguyên dương n ( n ≥ 2) . Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an = b .
a) Khái niệm :
Ví dụ 2 và – 2 là căn bậc 4 của 16 ;
là căn bậc 5 của
Từ định nghĩa và kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình xn = b . Ta có :
a) Trường hợp n lẻ và b  R :
Có duy nhất một căn bậc n của b . Kí hiệu :
b) Trường hợp n chẵn và b  R :
b < 0 : Không tồn tại căn bậc n của b .
b = 0 : Có một căn bậc n của b là số 0 .
b > 0 : Có hai căn bậc n của b trái dấu . Kí hiệu :
click
Từ định nghĩa có các tính chất sau :
b) Tính chất của căn bậc n :
Khi n lẻ
Khi n chẵn
Chứng minh tính chất sau :
Ví dụ 3 :
Rút gọn biều thức :
Giải :
click
4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ .
Cho số thực a dương và số hữu tỉ
, trong đó m  Z , n  N , n ≥ 2 .
Lũy thừa của a với số mũ r là số ar xác định bởi :
Ví dụ 4 :
Tính :
Ví dụ 5 :
Rút gọn biều thức :
Giải :
Với x , y > 0 ta có :
click
5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ .
Cho a là số dương và  số vô tỉ . Ta thừa nhận rằng luôn có dãy số hữu tỉ (rn) có giới hạn là  và dãy số tương ứng

Có giới hạn không phụ thuộc việc chọn dãy số (rn)

Ta gọi giới hạn dãy số

Là lũy thừa của a với số mũ  . Kí hiệu : a

Từ định nghĩa suy ra 1 = 1
II - TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
Lũy thừa với số mũ thực có tính chất tương tự lũy thừa số mũ nguyên dương .
Cho a , b những số thực dương ,  ,  số thực tùy ý . Ta có :
Nếu a > 1 thì a > a khi và chỉ khi  > 
Nếu a < 1 thì a > a khi và chỉ khi  < 
click
Ví dụ 6 :
Rút gọn biều thức :
Giải :
Với a > 0 ta có :
Tương tự làm nhanh Rút gọn biều thức :
Kết quả là :
Ví dụ 7 :
Không sử dụng máy tính hãy so sánh các số :
Giải :
ta có :
Và cơ số 5 > 1 nên có :
Tương tự làm nhanh so sánh :
Kết quả là :
click
III - Củng cố và bài tập về nhà
Bài tập 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 trang 55 ; 56 sách giáo khoa GT12 - 2008
Chào tạm biệt !