Phương trình và bất phương trình bậc 2

Phương trình bậc 2
Định lí viét
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)
Nếu phương trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thì

Một số ứng dụng của định lí viét
+ Nhẩm nghiệm :
Nếu a + b + c = 0 thì (1) có 2 nghiệm x = 1 và x =

Nếu a – b + c = 0 thì (1) có 2 nghiệm x = -1 và x = -

+ So sánh các nghiệm của phương trình với 0 (dấu các nghiệm của phương trình )
Phương trình (1) có các nghiệm x1 , x2 thoả mãn
x1 < 0 < x2 <=> P < 0 (không cần đk ∆ ≥ 0)
0 < x1 < x2 <=>

x1 < x2 < 0 <=>

chú ý : khi sử dụng định lí viét tuyệt đối không được quên điều kiện phương trình có nghiệm ≥ 0)
ví dụ 1 : tìm m để phương trình 3x2 + 4(m-1)x + m2 -4m +1 = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn

Giải
Phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 ≠ 0 <=>

ví dụ 2 : cho phương trình x2 - (m+5)x + m = 0
CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
A = x12 + x22 , B =

ví dụ 3 : cho phương trình mx2 -(2m+3)x + m - 4 = 0
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m
So sánh 1 số với các nghiệm của phương trình
Để so sánh α với các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ta có các cách
+ đặt t = x ± α đưa về so sánh nghiệm của phương trình ẩn t với 0
+ tính các nghiệm của phương trình rồi so sánh với 0
+ lập bảng biến thiên của hàm số f(x) = ax2 + bx + c
ví dụ 1 : xét dấu các nghiệm của phương trình x2 – mx +3m -8 = 0
Giải
Ta có ∆ = m2 – 12m + 32 , ∆ = 0 <=>

Nếu phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thì theo định lí viét S = x1 + x2 = m , P = x1x2 = 3m – 8
=> x1 + x2 = 0 <=> m = 0 và x1x2 = 0 <=>

Bảng xét dấu các nghiệm của phương trình
m
∆
S
P
Dấu các nghiệm của phương trình

- ∞

0





4


8


+∞
+
-
-
Phương trình có hai nghiệm trái dấu


32
0
-8
Phương trình có hai nghiệm trái dấu


+
+
-
Phương trình có hai nghiệm trái dấu


+
+
0
Phương trình có nghiệm bằng 0 và nghiệm lớn hơn 0


+
+

+
Phương trình có hai nghiệm dương


0
+
+
Phương trình có nghiệm kép dương


-


Phương trình vô nghiệm


0
+
+
Phương trình có nghiệm kép dương


+
+
+
Phương trình có hai nghiệm dương


ví dụ 2 : tìm m để phương trình (m-1) x2 + mx - m = 0 có
2 nghiệm trái dấu
2 nghiệm