Chương I
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ


Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

1/ Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b). Ta có:
a) Điều kiện đủ:
- f’(x) > 0 trên khoảng (a ; b)
f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b).
- f’(x) < 0 trên khoảng (a ; b)
f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b).
b) Điều kiện cần.
- f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b)
f’(x)
trên khoảng (a ; b).
- f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b)
trên khoảng (a ; b).
2/ Phương pháp tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Tìm TXĐ của hàm số.
Tính y’, giải phương trình y’ = 0.
Lập bảng xét dấu y’.
Sử dụng điều kiện đủ của tính đơn điệu để kết luận.
Chú ý: Trong điều kiện đủ, nếu f’(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b) thì kết luận vẫn đúng
Cần nhớ: f(x) = ax2 + bx + c
. Nếu
thì f(x) luôn cùng dấu a.
. Nếu
thì f(x) luôn cùng dấu a

. Nếu
thì f(x) có hai nghiệm x1 , x2 . Ta có bảng xét dấu sau:
x -
x1 x2 +


f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a

Đặc biệt: +

+

+
có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và x1 <
< x2 .
3, Áp dụng tính đơn điệu trong bài toán phương trình, bất phương trình
H1 - Tìm ĐKXĐ. Chuyển về dạng f(x) = k.
- Xét hsố y = f(x) , C/m hsố đơn điệu /D . Tìm x0
sao cho f(x0) = k
- NX : với x = x0 thì f(x) = f(x0) = k nên pt có nghiệm x = x0
x > x0 thì f(x) > f(x0) = k nên pt vô nghiệm
x < x0 thì f(x) < f(x0) = k nên pt vô nghiệm
- Vậy pt có nghiệm duy nhất x = x0
H2 - Tìm ĐKXĐ. Chuyển về dạng f(x) = g(x)
- Xét hsố y = f(x) và y = g(x) C/m hsố f(x) ĐB /D , g(x) NB/D.
- Hsố y = f(x) tăng /D, y = g(x) giảm /D nên 2 đồ thị cắt nhau không quá 1 điểm suy ra pt có
không quá 1 nghiệm
- Tìm x0
sao cho f(x0) = g(x0) nên pt có nghiệm duy nhất x = x0
Bài toán giải BPT :
- Tìm ĐKXĐ. Chuyển về dạng f(x) > k.
- Xét hsố y = f(x) , C/m hsố đơn điệu /D ) giả sử ĐB. Tìm x0
sao cho f(x0) = k
- NX : với x
x0 thì f(x)
f(x0) = k nên BPT vô nghiệm
x > x0 thì f(x) > f(x0) = k nên BPT có nghiệm x > x0




BÀI TẬP
1. Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số.
a) y = 4 + 3x – x2 b) y = 2x3 – 6x + 2 c) y = -
d) y = x3 + 3x + 1
e) y =
f) y = x4 – 2x2 + 3 g) y = -x4 + 2x2 – 1 h) y = x4 + x2
k) y =
l) y =
m) y =
n) y = x +

p) y =
q) y =
r) y = x +
s) y = x +

2. Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên R.
a) y = x3 – 3mx2 + (m + 2)x – 1 ĐS :

b) y = mx3 – (2m – 1)x2 + 4m – 1 ĐS : m =


3, Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên TXĐ
a) y