MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TIẾ�P TUYẾN
1
CÂU HỎI
1) Viết (không chứng minh ) phương trình đường thẳng qua M(x0; y0) có hệ số góc k?
Trả lời: y - y0 = k( x - x0 ) hay: y = k(x - x0) + y0
2) Cho biết ý nghĩa hình học của đạo hàm?
Trả lời:
Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm
tại x0, có đồ thị ( C) và M(x0; y0)
là một điểm thuộc (C), khi đó hệ
số góc của tiếp tuyến của (C) tại
M(x0; y0) là: k = f`(x0).
2
CÁC BÀI TOÁN
TÌM PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
3) Nêu (không chứng minh) phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M(x0; y0) thuộc đồ thị.
Trả lời: y - y0 = f`(x0)(x - x0 ), hay y= f`(x0)(x - x0) + y0
Hãy nêu các dạng toán về phương trình tiếp tuyến đã học?
3
?
1. Biết tọa độ tiếp điểm (hoặc biết hoành độ x0 hoặc
biết tung độ y0 của tiếp điểm. Ta nói tiếp tuyến tại
điểm M(x0; y0) ).
2. Biết hệ số góc k của tiếp tuyến.
3. Biết tiếp tuyến qua một điểm M(x0; y0) cho trước.
4. Hai đường tiếp xúc nhau.
4
Trả lời:
Nếu chỉ biết x0, ta thay x0 vào công thức của hàm số để tính y0 .
?Tính f?(x) rồi tính f?(x0).
?Thay các giá trị x0, y0, f?(x0) vào phương trình (1) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm.
5
1)Trường hợp1: Biết tọa độ (x0;y0) của tiếp điểm
Phương trình cần tìm là: y = f`(x0).(x - x0) + y0 (1)
Nếu chỉ biết y0, ta thay y0 vào công thức của hàm số để tính x0 .
Ví dụ 1:
Cho đường cong (C):
Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2
Giải:
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng x0 là: y = f?(x0).(x - x0) + y0
Theo đầu bài x0 = 2. Suy ra y0 = 1 và f?(x0) = 2
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
y = 2(x - 2) + 1, hay y = 2x - 3
6
? Gọi (x0 , y0) là tọa độ tiếp điểm
? Tính f?(x) rồi giải phương trình f?(x0) = k để tính x0.
? Thay x0 vào hàm số để tính y0.
? Áp dụng vào (2) ta có phương trình tiếp tuyến
7
? Phương trình tiếp tuyến có dạng:
y = k(x - x0) + y0 (2) ; [với: k = f`(x0) ]
2)Trường hợp2: Biết hệ số góc k của tiếp tuyến
Gọi (x0; y0) là tọa độ tiếp điểm. Phương trình có dạng:
Theo giả thiết: f?(x0) = 1 (1)
Với x0 = 0 thì y0 = - 1. Với x0 = - 4 thì y0 = 3
8
Ví dụ 2:
Cho đường cong (C): y= f(x)=
Tìm phương trình các tiếp tuyến của (C). Biết tiếp tuyến ấy song song với đường phân giác thứ nhất.
Giải:
Vì tiếp tuyến song song với y = x, nên k =1
? x0 = 0 hoặc x0 = - 4
Vậy ta có hai tiếp tuyến là : y = x - 1 và y = x + 7
y = (x - x0) + y0
3)Trường hợp 3: Biết tiếp tuyến của (C) qua điểm M
Chú ý: M thuộc (C) hoặc không thuộc (C), cách giải như nhau.
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) qua M(xM, yM) và tiếp xúc với (C). Phương trình đường thẳng (d) là: y = k(x ? xM) +yM
hay: y = kx - kxM + yM (a)
(d) Tiếp xúc với (C) khi hệ sau đây có nghiệm
Giải hệ trên tính được k, thay k vào phương trình (a), ta tìm được phương trình tiếp tuyến của (C) qua M.
9
? M
? M
Phương trình đường thẳng d qua M(0; ?1) là:
y = k(x ? xM) + yM ? y = kx ? 1
d là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm:
Thay giá trị của k ở (2) vào (1), ta được phương trình:
2x3 + 3x2  1= (6x2 + 6x)x  1
 4x3 + 3x2 = 0  x = 0 hoaëc x =  3/4
Với x = 0 ta có k = 0, với x = ? 3/4, ta có k = ? 9/8
Vậy có hai tiếp tuyến với (C) qua M, phương trình là:
Ví dụ 3: Cho (C): y = f(x) = 2x3+ 3x2 -1.Tìm phương trình các tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua M(0; -1)
10
Giải:
Hai đường cong được gọi là tiếp xúc nhau tại điểm M nếu chúng có chung điểm M và tiếp tuyến tại M của hai đường cong đó trùng nhau.(SGK ; tr 101)
Đồ thị của hàm số y = f(x) và đồ thị của hàm số
y = g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm :
11
4) Trường hợp 4 : Hai đường cong tiếp xúc
(Hệ đó cho ta hoành độ tiếp điểm)
Ví dụ 4:
Xác định a để đồ thị (C) của hàm số :
Giải :
Hoành độ tiếp điểm của (C) và (P) là nghiệm của hệ :
(2) ? x2 ? 4x + 4 = 0 ? x = 2
Thay x = 2 vào (1), ta được :
tiếp xúc với đồ thị Parabol (P): y = g(x) = x2 + a
12
CÁC BÀI TOÁN
ĐỂ RÈN LUYỆN
13
14
Cho hàm số :
Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng có phương trình: y = x.
ĐS: Mọi m khác 1
Gợi ý: Như ví dụ 4. Điều kiện tiếp xúc
Bài số 1:
Đi đến:
ĐS: Không có tiếp tuyến nào qua tâm đối xứng.
Cho hàm số:
Gọi (C) là đồ thị. Tìm phương trình tiếp của đồ thị đi qua tâm đối xứng (nếu có).
15
Gợi ý: Tâm đối xứng I(- 1; 1). Giống ví dụ 3
Phương trình tiếp tuyến qua điểm I.
Bài số 3:
Bài số 2:
Cho hàm số
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số Biết nó vuông góc với đường thẳng (a): x - 3y + 6 = 0.
Gợi ý: Gọi (d) là tiếp tuyến. Vì (a) có hệ số góc 1/3 nên (d) có hệ số góc là - 3.
ĐS: y = - 3x - 3 và y = - 3x - 11.
Cho (C): y = f(x) = x3 ? 3x2 + 2. Tìm trên đường thẳng y = ? 2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị hai tiếp tuyến vuông góc
16
Bài số 4:
Gợi ý:
Gọi A(a; - 2) là điểm cần tìm.
Phương trình tiếp tuyến qua A là: y = k(x - a) - 2
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ:
Thế (2) vào (1) ta được: (x - 2)[2x2 - (3a - 1)x+2] = 0
+ Với x = 2: Ta có tiếp tuyến là y = - 2 (loại).
+ Với 2x2 - (3a -1)x+ 2 = 0 (*). Để bài toán được thỏa thì (*) phải có nghiệm x1,x2 thỏa f`(x1).f`(x2) = - 1
?
? = (3a - 1)2 - 16 > 0
(3x12 - 6x1)(3x22 - 6x2) = - 1
Giải hệ ta được
a = 55/27
17
Cho hàm số y = f(x) = x4 - 12x2 + 4
Bài số 5:
Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó vẽ được đúng 3 tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số.
ĐS: Điểm A(0;4)
Gợi ý: Gọi A(0; m) là điểm cần tìm.
Phương trình tiếp tuyến: y = kx + m
Điều kiện tiếp xúc:
x4 - 12x2 + 4 = kx + m (1)
4x3 - 24x = k (2)
Đi đến: 3x4 - 12x2 + m - 4 = 0 (3)
Do có đúng 3 tiếp tuyến nên (3) là phương trình trùng phương có 3 nghiệm cần thử lại.